Fibonacci Reloaded

FibonacciNe avevamo già parlato a proposito di un cazzeggio estivo qualche tempo fa.
Ma ogni tanto bisogna approfondire oltre la semplice pagina di Wikipedia e quindi, siccome “la sinistra non dimentica”, ho ravanato un po’ in libreria e ho trovato questo libricino, molto interessante. Tuttavia, numero e sezione aurei a parte, su cui forse torneremo, vorrei raccontare di alcune proprietà della successione di Fibonacci che mi erano decisamente sconosciute.

Si definisce successione di Fibonacci, una successione ricorsiva di numeri interi in cui il termine n-simo è dato dalla somma dei due precedenti:

Fibo(N) = Fibo(N-1) + Fibo(N-2)

Utilizzando come innesco i numeri 0 e 1, la succesione di Fibonacci “ufficiale” è quindi

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

La chiamo ufficiale perché cambiando i numeri di innesco con due interi qualunque e procedendo con lo stesso metodo si ottengono delle successioni di Fibonacci “ufficiose” che tuttavia godono di molte, se non di tutte, proprietà della successione “ufficiale”. La proprietà più nota e, per inciso, quella che lega la successione al numero aureo è che il rapporto

Fibo(N)/Fibo(N-1)

tende, al crescere di n, piuttosto lentamente ma inesorabilmente, al numero phi, chiamato anche numero aureo, pari a 1,618033…, o se preferite alla metà di uno più radice di cinque. Questa proprietà vale anche per le successioni ufficiose, provare per credere (bastano 4, 5 iterazioni…).

Questa proprietà, che Leonardo “Fibonacci” da Pisa, pur essendo bravo in teoria dei numeri, non trovò, limitandosi a definire la successione eponima, è la più nota, ma ce ne sono molte altre. State pronti.

Proprietà/1
La somma di un numero dispari di prodotti di coppie di numeri di Fibonacci successivi è pari al quadrato del maggiore di questi numeri di Fibonacci. Ad esempio, prendendo in considerazione i primi 8 numeri (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

1×1 + 1×2 + 2×3 + 3×5 + 5×8 + 8×13 + 13×21 = 1 + 2 + 6 + 15 + 40 + 104 +273 = 441 = 21×21,

cioè il quadrato di 21. Qui sotto, una dimostrazione geometrica con i rettangoli (ovviamente, sempre più aurei al crescere di N).

quadrati
Proprietà/2
La somma di un qualsiasi gruppo da 10 numeri di Fibonacci consecutivi dà SEMPRE un numero divisibile per 11. Ad esempio, da Fibo(10) a Fibo(19)

55 + 89 +144 + 233 +377 + 610 + 987 + 1597 + 2584 +4181 = 10857

che è divisibile per undici e, diviso undici, fa 987, che, guarda un po’, altra proprietà, è SEMPRE il settimo numero della decina. Questa vale anche per le successioni “ufficiose”.
Bizarre, isn’t it?

Proprietà/3
La somma dei primi n numeri di Fibonacci è sempre uguale, anche per le successioni “ufficiose”, al n+2-esimo numero di Fibonacci meno 1.

Fibo(1) +Fibo(2) + … + Fibo(N) = Fibo(N+2) – 1

Vabbè, per oggi basta, anche se non escludo, purtroppo per voi, che ci si possa ritornare sopra, andando avanti con la lettura.

Un’ultima cosa, lo sapete qual è la formula per calcolare, noto solo n, l’ennesimo numero della successione di Fibonacci? Questa qui.

formulaDove phi è il numero aureo, il più irrazionale fra gli irrazionali.
Strano, eh? Che per tirare fuori un numero intero (!) si utilizzi una formula con il numero aureo e la radice di 5…

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  1. utente anonimo
    8 novembre 2008 alle 12:10

    Mo che mi ci fai pensare uno dei libretti più carini sui numeri che ho letto (Il mago dei Numeri) era tutto basato sulla serie di Fibonacci

    bnb

    P:ho come la sensazione che la dimostrazione geometrica della prima proprietà sia sbagliata.
    Dovrebbero essere tutti rettangoli che formano un quadrato e non dei quadrati che formano un rettangolo.

  2. 8 novembre 2008 alle 23:46

    Ha ragione Bnb.
    La proprietà è giusta, ma la figura era sbagliata. L’ho fatta giusta (con Excel)

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